Форум-практикум «Современные проблемы теоретической экономики»

Форум-практикум «Современные проблемы теоретической экономики» продолжает серию летних стажировок, проводимых лабораторией в 2022, 2023 и 2024 годах. Его основной целью было дать возможность талантливым и заинтересованным в научной карьере студентам попробовать свои силы в решении теоретических и прикладных задач математической экономики. На один месяц студенты погрузились в процесс научного поиска и получили широкое представление о переднем крае экономической науки. Студенты знакомились с важными задачами современной микроэкономики и пробовали себя в роли исследователей.

Участники

Студенты и аспиранты, желавшие принять участие в форуме-практикуме в качестве стажёров, проходили отбор на конкурсной основе. Обязательным условием участия была заявка, в которую входило портфолио студента, мотивационное эссе, курсовые и дипломные работы, препринты и публикации – при наличии. Всего было рассмотрено 50 заявок, участие в итоге приняло 36 студентов и аспирантов, как из НИУ ВШЭ – Санкт-Петербург и НИУ ВШЭ (Москва), так и из других ВУЗов России: МГУ, СПбГУ, МФТИ, Российская экономическая школа (РЭШ), Новосибирский государственный университет, Европейский университет в Санкт-Петербурге, Томский государственный университет.

Для стажёров читали лекции, предложили свои задачи и руководили их работой над проектами 28 преподавателей, как из числа сотрудников лаборатории, так и доценты и преподаватели разных факультетов НИУ ВШЭ: факультета Санкт-Петербургская школа экономики и менеджмента, факультета экономических наук, факультета компьютерных наук и факультета математики. Также среди преподавателей были приглашённые специалисты из других российских ВУЗов: МФТИ, МГУ, ПОМИ; и из других стран: Китай (Юго-Западный университет финансов и экономики / SWUFE; Пекинская бизнес школа / Peking University HSBC Business School), США (Техасский университет в Рио Гранд-Вэлли / Texas Rio Grande Valley; Гарвардская медицинская школа / Harvard Medical School), Великобритания (Университет Глазго / University of Glasgow; Сити Сент-Джорджес, Лондонский университет / City St George’s, University of London), Турция (Университет Сабанджи / Sabanci University).

Программа

В первую неделю (3-7 августа 2026 года) стажёры знакомились с сотрудниками лаборатории и приглашёнными лекторами и слушали лекции по следующим темам теории игр и прикладной математики:

• дизайн аукционов;

• теория рынков;

• мэтчинг;

• задачи дележей и коалиций;

• задачи голосований и устройства спортивных турниров;

• исследование операций;

• приложения пучков для анализа финансовых рынков;

• анализ топологических свойств конфигурационных пространств кооперативных игр;

• теория графов и сложных сетей.

Более подробно темы всех лекций и расписание занятий можно посмотреть здесь.

На выходных 8-9 августа стажёры распределились по задачам согласно своим предпочтениям. И следующие почти 3 недели (с 10 по 27 августа) они работали над проектами с руководителями. Представленный комплекс исследовательских задач формирует репрезентативный срез актуальной повестки современной теоретической экономики, фокусируясь на усложнении поведенческих моделей и отходе от классических предпосылок о полной рациональности и совершенной информации.

Защиты проектов походили 28 августа в формате однодневной конференции с двумя секциями: стажёры презентовали свои результаты работы над проектами в двух залах Менделеев Холла. Итоговые презентации проектов оказались крайне удачными: все студенты показали высокий уровень владения теоретическим контекстом исследования, а также продемонстрировали существенные продвижения по задачам.

Правила ранжирования и стабильности коалиционных структур

Работа исследует проблему существования стабильного разбиения (core partition) в задачах коалиционного ранжирования. Рассматривается множество агентов с линейным порядком, для каждого разбиения определяется ранжирование агентов. Известно, что в общем случае стабильного разбиения может не существовать. Предлагается аксиоматический подход: вводятся аксиомы M, Norm, F, Con, при выполнении которых доказывается существование стабильного разбиения, отличного от тривиального. Основные результаты: теорема 1 (при выполнении аксиом M, Нотт, Соп и F разбиение $\{\{1\},\{2\},\dots,\{n-2\},\{n-1,n\}\}$ является стабильным) и теорема 2 (аксиомы M, Соп и F являются минимальным набором).

Итог: Работа даёт достаточные условия существования нетривиального стабильного разбиения, дополняя известные результаты о стабильных социальных порядках.

Применение персистентных кобордизмов в анализе данных

Работа применяет конструкцию персистентного кобордизма для анализа динамики функционального коннектома гиппокампа мыши. Данные кальциевого имиджинга, арены с разным числом препятствий. Строятся взвешенные графы когерентности, фильтрации флаговых комплексов. Персистентный кобордизм позволяет измерить масштаб перестройки нейронных ансамблей. Гипотезы о связи массы и глубины диссимилярной поверхности Бетти со сложностью задачи и стадией обучения. Результаты: гипотеза о топологической стабилизации не подтвердилась на десятиминутной записи, но на обучающейся GNN тренд сильный. Главный положительный результат: на биологических данных топологический инвариант статистически независим от средней амплитуды изменения весов ($\rho=0.07$), тогда как на GNN он ею объясняется ($\rho=0.94$).

Итог: Метод персистентного кобордизма вычислим на реалистичных размерах, но требует дальнейшей валидации; он измеряет не то же самое, что норма разности матриц, что важно для биологических данных.

Последовательное байесовское убеждение при пороговом голосовании

Работа изучает последовательное пороговое голосование $n$ игроков. Информированный Sender после наблюдения состояния может перед каждым голосом выбирать верифицируемый частный байесовский эксперимент: выбранный эксперимент и реализованный сигнал наблюдает текущий Receiver, а последующие игроки видят только историю голосов. Через $\mu$ обозначена априорная вероятность благоприятного состояния, через $t_i$ — порог, выше которого Receiver $i$ предпочитает принятие. Квота $q$ означает, что для принятия нужно не менее $q$ положительных голосов. Показано, что для любой квоты $q < n$ оптимум Sender равен единице: существует weak PBE, в котором решение принимается при каждом состоянии, причём все апостериорные вероятности на пути можно оставить строго между нулём и единицей. При единогласии ($q=n$) оптимум Sender равен $\min\{1, \mu/T\}$, где [$T]$T = \max_i t_i$. Receiver-optimal равновесие, максимизирующее суммарный ожидаемый выигрыш всех Receiver, достигается при полном раскрытии $d = \Theta$ и даёт $W_R^* = n\mu + (1-\mu)\sum_i t_i$; этот оптимум не зависит от квоты.

Итог: При $q < n$ запасной голос превращается в информационный канал, позволяя Sender достичь глобального максимума; при единогласии любой голос против становится вето, ограничивая Sender порогом самого требовательного участника.

Минимальная коалиционная уязвимость: правило выбора из пропорционального вето-ядра

Работа предлагает прямое правило социального выбора, уточняющее пропорциональное вето-ядро. Для каждого кандидата $x$ и каждого числа $k$ общих альтернатив определяется величина $q_k(P,x)$ — размер крупнейшей коалиции избирателей, все участники которой ставят одни и те же $k$ альтернатив выше $x$. На этой основе вводится индекс максимальной коалиционной уязвимости

$$H(P,x) = \max_{1 \le k \le m-1} \frac{q_k(P,x)}{m-k},$$

а ничьи по $H$ разрешаются минимизацией суммы рангов [$B]$B(P,x) = \sum_i r_i(x)$. Доказывается точная связь с пропорциональным вето: кандидат принадлежит вето-ядру тогда и только тогда, когда [$H]$H(P,x) \le n/m$. Отсюда немедленно следует согласованность предлагаемого правила с вето-ядром. Далее доказываются положительная отзывчивость, сильное положительное вовлечение и адаптивность к избирателю. Наконец, приводится явный профиль с тремя избирателями и четырьмя кандидатами, показывающий, что правило нарушает притяжение: добавление Парето-доминируемой альтернативы меняет знаменатели $m-k$ и способно изменить порядок кандидатов по $H$.

Итог: Конструкция даёт положительное решение для четырёх аксиом (согласованность с вето-ядром, положительная отзывчивость, сильное положительное вовлечение, адаптивность) и точно локализует препятствие для пятой (притяжение), связанное с зависимостью нормировки $H$ от числа кандидатов.

Пучковые лапласианы на финансовых рынках: от кластеризации и ядра до индикатора системного стресса

Работа исследует вопрос, обеспечивает ли связностный (пучковый) лапласиан строгое превосходство над скалярным графовым лапласианом в финансовых приложениях. Корреляционный граф несёт на ребре один скаляр, тогда как связностный пучок, включающий транспорт локальных базисов и первую когомологию $H_1$ знакового 2-комплекса, вводит направленность и некоммутативность переноса риска. Предлагается критерий разграничения: пучковый лапласиан превосходит графовый, когда сигнал локализован в голономии, которая может возникнуть исключительно при априорно заданных правилах согласования. Критерий проверяется на едином наборе данных (44 акции РФ, США и Европы за 2020–2026 годы), расширенном облигациями, товарами и факторами волатильности. Пучковый лапласиан даёт содержательное улучшение, когда объект является собственно пучковым. Единый рыночный индекс в стебле не улучшает структуру; рост секторной кластеризации обусловлен робастной мерой, а не геометрией пучка. Единственным эмпирически подтверждённым собственно пучковым сигналом является $H_1$ знакового 2-комплекса как индекс структурного баланса: ненулевое $H_1$ возникает только при добавлении долларовых облигаций и указывает на вторую независимую знаковую ось (ось ставок/дюрации). Величина $\text{heat\_dim}(t) = \dim\ker L(t)$ выступает синхронным индикатором системного стресса ($\rho = -0.563$), но не обладает опережающей способностью.

Итог: Связностный лапласиан систематически картирует оси рынка и даёт собственный индикатор стресса, однако превосходит граф лишь там, где структура задана экзогенно (класс актива, знак, география), а не является переоценкой корреляций.

Полилогарифмический алгоритм для задачи справедливого дележа с выпуклыми множествами предпочтений

Работа рассматривает алгоритмическую задачу справедливого дележа в модели запросов принадлежности. Пусть $T$ — $m$-мерный симплекс, а $P_1,\dots,P_{m+1}\subset T$ — замкнутые выпуклые множества предпочтений, образующие покрытие $T$ и содержащие соответствующие грани симплекса. Для заданного $\varepsilon>0$ требуется найти точку, находящуюся на расстоянии не более $\varepsilon$ от каждого $P_i$, используя как можно меньше запросов вида «$x\in P_i$?». Работа обобщает процедуру PFIA Малютина с двумерных сечений на произвольную фиксированную размерность. Основными геометрическими объектами являются минимальные допустимые антисимплексы. Строится рекурсивная процедура PFIAm со сложностью $O_m(\log^m(\theta/\delta))$ запросов и алгоритм нахождения $\varepsilon$-решения для $m+1$ множеств предпочтений со сложностью $O_m(\log^m(1/\varepsilon))$. Тем самым конструкция PFIA для случая четырёх множеств предпочтений получает рекурсивное многомерное продолжение.

Итог: Построено многомерное обобщение процедуры PFIA на основе минимальных допустимых антисимплексов; для фиксированной размерности $m$ число запросов полилогарифмично по $1/\varepsilon$, что завершает программу Малютина по обобщению на произвольную размерность.

Результаты форума-практикума

Представленный комплекс исследовательских задач формирует репрезентативный срез актуальной повестки современной теоретической экономики, фокусируясь на усложнении поведенческих моделей и отходе от классических предпосылок о полной рациональности и совершенной информации. Значительный блок работ посвящен дизайну механизмов и теории общественного выбора: здесь исследуются границы неманипулируемости (включая поиск контрпримеров к классическим схемам и анализ "защищенных" долей механизмов), процедуры коалиционных взаимодействий и вето, а также фундаментальные вопросы существования равновесий и стабильных структур. Параллельно развивается тематика стратегической коммуникации и экономики информации, где моделируются сигналы экспертов с неоднозначными мотивами, динамика байесовских убеждений агентов (в том числе при налоговом контроле или взаимодействии с крупными игроками) и манипулирование предпочтениями в процедурах голосования.

Вторая магистральная линия сборки отражает активную интеграцию в экономический анализ современного математического аппарата, выходящего за рамки стандартного матанализа и линейной алгебры. Здесь выделяются задачи, использующие методы топологического анализа данных (персистентные гомологии и кобордизмы, теория пучков на графах) для изучения временных рядов и сетевых структур, а также задачи, связанные с комбинаторной оптимизацией, теорией графов (центральность ребер, спектральные свойства, анализ многомерных пространств) и теорией алгоритмов (разрезание торта, разрезание множеств, автоторг). Подобный синтез дискретной математики, топологии и теоретико-игрового моделирования позволяет преодолевать ограничения гладких моделей и работать с более реалистичными структурами данных и взаимодействий. Наконец, широкий пласт задач посвящен теории рынков и конкуренции в условиях несовершенств и неполноты информации. Рассматриваются обобщения классических моделей пространственной конкуренции (типа Хотеллинга) на случай сегментации спроса и асимметрии игроков, анализируются рыночные искажения, эффекты внутреннего рынка и перераспределительные аспекты крупных трансферов или целевого назначения ресурсов. Сюда же примыкают сюжеты о сговоре при взаимозависимых ценностях, стратегическом внимании при неопределенных издержках обмана и оптимальном распределении призов в конкурсах со случайным успехом. В совокупности эти сюжеты демонстрируют стремление современной теории к анализу стратегического поведения в сложных институциональных средах, где ключевую роль играют ограниченная рациональность, асимметрия информации и вычислительная сложность принимаемых решений.